The equation-SGU106(扩展欧几里得)

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题意:

给出a,b,c,x1,x2,y1,y2,求满足ax+by+c=0,且x∈[x1,x2],y∈[y1,y2]的整数解个数。

分析:

对于解二元一次不定方程,容易想到利用扩展欧几里得求出一组可行解后找到通解,下面来介绍一下欧几里得以及扩展欧几里得。

欧几里得:

又名辗转相除法,是用来计算两个数的最大公约数,其中就是利用gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)来求解。下证gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的正确性:

设a,b的一个公约数为d

设a mod b=r,则a=kb+r(k为整数),r=a-kb

因为d|a,d|b

所以d|a-kb,即d|r,而r=a mod b

所以d为b,a mod b的公约数

又因为d也为a,b的公约数,所以(a,b)和(b,a mod b)的公约数一样,所以最大公约数必然一样,得证。

代码描述:

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int gcd(int a,int b)
{
if (b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得

顾名思义,为上述欧几里得算法的扩展。欧几里得是用来求a,b的最大公约数,那么扩展欧几里得不仅能求出a,b的最大公约数,还能求出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行解。
求解过程中,扩展欧几里得比欧几里得多了一个赋值过程,具体证明如下:

设ax1+by1=gcd(a,b),bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)

因为由欧几里得算法可知,gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

所以ax1+by1=bx2+(a mod b)y2

因为a mod b=a-(a div b)*b(div为整除

所以有ax1+by1=bx2+(a-(a div b)*b)y2

将右边移项,展开得:

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ax1+by1=ay2+bx2-(a div b)*b*y2
=ay2+b[x2-(a div b)]y2

所以可得:
x1=y2
y1=x2-(a div b)*y2

将得到的的x1,y1递归操作求解x2,y2,如此循环往复,将会像欧几里得一样得到b=0的情况,此时递归结束,返回x=1,y=0,回溯得解。

代码描述:

此函数返回的是a,b的最大公约数,同时也求解出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行的(x,y)

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int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
int t=exgcd(b,a%b,x,y);
int x0=x,y0=y;
x=y0;y=x0-(a/b)*y0;
return t;
}

关于求解二元一次不定方程ax+by=c

首先,如果c不是gcd(a,b)的倍数,方程显然无解。

扩展欧几里得求解的是ax+by=gcd(a,b)=1的可行解,但是题目中并没有说c与a,b互质之类的条件,所以需要在开始时两边同时除以gcd(a,b)。

设d=gcd(a,b)

设a’=a/d,b’=b/d,c’=c/d,

则下面需要求解a’x+b’y=c’的整数解,而gcd(a’,b’)=1,

则我们只需求a’x+b’y=1的可行解

直接使用扩展欧几里得,得到(x’,y’),则最终解为x'*c',y'*c'设为(x0,y0)。

现在得到了一组可行解,但是如何得到通解呢?

将(x0,y0)代入ax+by=c,则有

a*(x0)+b*(y0)=c

通过拆添项,可有:

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a*(x0+1*b)+b*(y0-1*a)=c

a*(x0+2*b)+b*(y0-2*a)=c

a*(x0+3*b)+b*(y0-3*a)=c

……

a*(x0+k*b)+b*(y0-k*a)=c (k∈Z)

至此,我们得到了通解的方程

x=x0+k*b
y=y0-k*a (k∈Z)

这样,所有满足ax+by=c的可行解都可求出。

具体实现

有了主体算法,下面要谈到具体实现了。

先处理一下无解的情况:

  1. 当a=0并且b=0,而c≠0时,显然无解;
    当a=0,b=0,而c=0时,[x1,x2],[y1,y2]都为可行解,根据乘法原理,可行解的个数为(x2-x1+1)*(y2-y1+1);

  2. 当a=0 b≠0时:
    此时即为求解by=c,则y=c/b,
    如果c/b不是整数或c/b不在[y1,y2]的范围内,无解
    否则[x1,x2]内全部整数都为可行解.

  3. 当b=0,a≠0时,同上。

  4. 若c不是gcd(a,b)的个数,方程显然无解。

处理完了一些繁琐的细节后,下面是具体的求解过程:

  1. 扩展欧几里得求解的是ax+by=c,而本题是ax+by+c=0,需将c移项。

  2. 对于本道题,首先要注意的是,对于负数的模运算在此算法中无法得到正确解,所以要处理一下a,b,c的正负情况。
    如果a为负数,只需将a取相反数后,再处理一下x∈[x1,x2]的范围。当a取了相反数,相当于把x也取反,则需要把x的范围由[x1,x2]转变成[-x2,-x1],类似于把数轴反了过来。b同理。

  3. 利用扩展欧几里得解二元一次不定方程,得到一组可行解(x0,y0)。

  4. 因为题目中对x,y有条件约束,而有x=x0+kb,y=y0-kb,我们可以求出满足x∈[x1,x2],y∈[y1,y2]的k的取值范围,
    即为求解x1<=x0+kb<=x2,y1<=y0-kb<=y2的整数k的个数
    但是在求解这两个一次函数的过程中,会有除不尽的现象,该如何取整呢?

举个例子

当出现2.5<=k<=5.5时,我们需要的可行的k为3,4,5,所以需要将2.5向上取整得到3,5.5向下取整得到5,即为3<=k<=5;

当出现-5.5<=<=-2.5时,我们需要的可行的k为-5,-4,-3,所以需要将-5.5向上取整得到-5,-2.5向下取整得到-3,即为-5<=k<=-3;

正负数的情况都已经考虑完全了,可以得到取整的结论:上界下取整,下界上取整。

最后,将得到的两个范围取交集,得到[l,r],则最终答案为r-l+1。

这样,本题就可以完美解决了。

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// BY Rinyo

#include<cstdio>
#include<cmath>
long long a,b,c,x1,x2,yy1,y2,x0,yy0;
inline long long cmin(const long long &x,const long long &y) {return x<y?x:y;}
inline long long cmax(const long long &x,const long long &y) {return x>y?x:y;}

long long gcd(long long a,long long b)
{
if (b==0) return a;
return gcd(b,a % b);
}
void exgcd(long long a,long long b)
{
if (b==0){x0=1;yy0=0;return;}
exgcd(b,a%b);
long long t=x0;x0=yy0;yy0=t-a/b*yy0;
return;
}

int main()
{
scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&x1,&x2,&yy1,&y2);
c=-c;
if (c<0) {a=-a;b=-b;c=-c;}
if (a<0) {a=-a;long long t=x1;x1=-x2;x2=-t;}
if (b<0) {b=-b;long long t=yy1;yy1=-y2;y2=-t;}
if (a==0 && b==0)
{
if (c==0)
{
printf("%I64d",(x2-x1+1)*(y2-yy1+1));
return 0;
}
printf("0");return 0;
}
else if (a==0)
{
if (c %b ==0)
if (c/b<=y2 && c/b>=yy1) {printf("%I64d",x2-x1+1);return 0;}
printf("0");return 0;
}
else if (b==0)
{
if (c%a==0)
if (c/a<=x2 && c/a>=x1) {printf("%I64d",y2-yy1+1);return 0;}
printf("0");return 0;
}

long long d=gcd(a,b);
if (c%d!=0){printf("0");return 0;}

a=a/d;b=b/d;c=c/d;
exgcd(a,b);
x0=x0*c;yy0=yy0*c;

double tx2=x2,tx1=x1,tx0=x0,ta=a,tb=b,tc=c,ty1=yy1,ty2=y2,ty0=yy0;
long long down1=floor(((tx2-tx0)/tb)),down2=floor(((ty0-ty1)/ta));
long long r=cmin(down1,down2);
long long up1=ceil(((tx1-tx0)/tb)),up2=ceil(((ty0-ty2)/ta));
long long l=cmax(up1,up2);
if (r<l) printf("0");
else printf("%I64d",r-l+1);
return 0;

}

扩展欧几里得模板

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#include<iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
int x2=x,y2=y;
x=y2;
y=x2-(a/b)*y2;
return gcd;
}

int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}

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