最大公约数(二进制算法)

二进制最大公约数算法避免了欧几里得算法(辗转相除法)的大量取模操作,有效减少了时间消耗,且更为方便。

原理

本算法基于以下事实:

对于两个数的最大公约数gcd(m, n),有
m<n时,gcd(m, n)=gcd(n, m)
m偶n偶时,gcd(m, n)=2*gcd(m/2, n/2)
m偶n奇时,gcd(m, n)=gcd(m/2, n)
m奇n偶时,gcd(m, n)=gcd(m, n/2)
m奇n奇时,gcd(m, n)=gcd(n, m-n)

采用递归即可。

实现

最大公约数
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inline int GCD(int x,int y)   
{
int i,j;
if(x==0) return y;
if(y==0) return x;
for(i=0;0==(x&1);++i)x>>=1; // 去掉所有的2
for(j=0;0==(y&1);++j)y>>=1; // 去掉所有的2
if(j<i) i=j;
while(1){
if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y; // 若 x < y 交换 x, y
if(0==(x-=y)) return y<<i; // 若x == y, gcd == x == y (就是在辗转减,while(1)控制)
while(0==(x&1))x>>=1; // 去掉所有的2
}
}
最小公倍数
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int get_lcm(int a,int b)///获得最小公倍数
{
int x=a;
int y=b;
while(b)
{
int t=a;
a=b;
b=t%b;
}
return x/a*y;
}
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