最短路入门

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想:

设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

spfa算法

spfa是一种求单源最短路的算法

算法中需要用到的主要变量

int n; //表示n个点,从1到n标号

int s,t; //s为源点,t为终点

int d[N]; //d[i]表示源点s到点i的最短路

int p[N]; //记录路径(或者说记录前驱)

queueq; //一个队列,用STL实现,当然可有手打队列,无所谓

bool vis[N]; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中

几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步

1.初始化

2.松弛操作

初始化:

d数组全部赋值为INF(无穷大);p数组全部赋值为s(即源点),或者赋值为-1,表示还没有知道前驱,然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径,或者说最短路就是0。将源点入队;
(另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组,有顶点出队了记得消除那个标记)

队列+松弛操作

读取队头顶点u,并将队头顶点u出队(记得消除标记);将与点u相连的所有点v进行松弛操作,如果能更新估计值(即令d[v]变小),那么就更新,另外,如果点v没有在队列中,那么要将点v入队(记得标记),如果已经在队列中了,那么就不用入队

以此循环,直到队空为止就完成了单源最短路的求解

SPFA可以处理负权边

定理: 只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明:
  每次将点放入队尾,都是经过松弛操作达到的。换言之,每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有最短路径值。因此,算法不会无限执行下去,随着d值的逐渐变小,直到到达最短路径值时,算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。(证毕)

期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。

判断有无负环:
  如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)

代码

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